Моделирование САУ
Математическая модель системы управления
Немного о математических моделях
Системы управления создаются для самых разных объектов управления. Модели объектов управления могут быть представлены с помощью систем дифференциальных уравнений или другими способами. Когда объект управления задан, хотя бы частично, можно переходить к созданию математической модели системы управления.
В теории систем управления популярны следующие виды математических моделей:
- Модель, заданная с помощью системы дифференциальных уравнений,
- Модель, заданная через набор передаточных функций (TF, Transfer Function),
- Модель, заданная в пространстве состояний (SS, State Space).
Все перечисленные модели задают линейные системы, имеющие линейную связь между входом и выходом. Как правило, они также стационарные, т.е. их параметры не меняются во времени.
Системы в реальном мире редко бывают линейными, но давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, что такое описание тоже вполне полезно использовать.
Модель на основе дифференциальных уравнений
Рис. 1.1. Электрическая цепь, состоящая из резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
Чтобы задать модель при помощи дифференциальных уравнений, как правило, необходимо:
- Выписать основные законы, которые проявляются в процессах, составляющих поведение объекта управления.
- Выразить дифференциальные уравнения, связывающие входы системы с интересующими нас выходами.
Выполним эти действия для электрической цепи, приведенной на рис. 1.1. Она состоит из последовательно соединенных элементов: резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
Входное и выходное значения напряжения обозначены как и . Взаимоотношение этих двух значений определено через следующее уравнение:
Если в это уравнение подставить уравнение тока через конденсатор (), то можно получить следующее дифференциальное уравнение второго порядка
Это уравнение уже является подходящей моделью для нашей электрической цепи во временной области.
Модель на основе передаточных функций
Передаточные функции используются для представления модели в виде отношения выходного процесса к входному. Процессы должны быть записаны в специальной форме – через оператор Лапласа (после соответствующего преобразования).
Передаточная функция – это отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.
Процессы изменения входного и выходного напряжения и можно обозначить как и . Теперь выражение передаточной функции в качестве дроби становится вполне прозрачным: входной процесс нужно домножить на эту дробь чтобы получить выходной процесс.
.png)
Рис. 1.2. Взаимоотношение входного и выходного напряжения в передаточной функции.
Передаточная функция для электрической цепи, показанной на рис. 1.1. будет выглядеть следующим образом
Модель в пространстве состояний
Для получения модели в пространстве состояний нужно знать следующие определения.
Состояние – это набор информации, который характеризует систему в каждый отдельный момент.
Переменная состояния – это отдельная характеристика состояния системы. Например, сила тока, протекающего через катушку индуктивности, напряжение в конденсаторе и т.д.
Вектор состояния – это вектор, содержащий полную информацию о состоянии системы.
Эти три представления моделей взаимозаменяемы. Модель в пространстве состояний может быть получена либо из системы дифференциальных уравнений, либо из передаточной функции.
Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис. 1.1. В этой электрической цепи есть два элемента хранения: катушка индуктивности и конденсатор. Это означает, что у нас есть как минимум две динамические переменные состояния: ток , протекающий через катушку индуктивности, и напряжение на конденсаторе.
Выходное значение напряжения в цепи равно напряжению на конденсаторе . По закону напряжения Кирхгофа получаем следующее дифференциальное уравнение:
Напряжение на конденсаторе определяется по формуле:
Если продифференцировать вышеприведенное уравнение, то получим следующее:
Далее обозначим вектор состояния как , а дифференцированную форму вектора состояния как .
Теперь мы можем выразить эту модель в пространстве состояний:
Канонический вид такой системы следующий:
Кроме вектора состояния в этом выражении участвуют векторы выходных переменных и входной процесс (иногда он называется вектором управления).
Параметры системы в пространстве состояний могут быть обозначены через параметры системы: , , , .
Модель системы управления в Engee
Модель, приведенная ниже, симулирует систему управления автофокусом смартфона.
✏️Задание 1.1
Как выглядит процесс создания системы управления для уже существующего объекта управления?
Рассмотрим модель автофокусировки смартфона. Электроника смартфона осуществляет управление мотором за счет обратной связи от камеры. Абстрагируемся от технологии и скажем, что нам нужно чтобы переходный процесс занимал не более 0,6 секунд с момента получения команды на фокусировку. Сможем ли мы создать такую систему?
Для начала работы запустите следующий скрипт:
# Параметры системы и переходного процесса
Ts = 0.01; # время дискретизации
K1 = 30; # другие параметры системы
K2 = 20000;
Kd = 2.8;
Kf = 6.3e-4;
m1 = 0.7;
m2 = 0.3;
Шаги выполнения задачи
- Откройте модель
Глава_1_задача_1.engee. - Включите логирование сигнала, который называется «Положение линзы». Для логирования сигнала кликните левой кнопкой по сигнальной линии, выходящей из объекта управления, и нажмите на значок
. - Запустите симуляцию модели и постройте графики входного и выходного сигналов.
Решение
Модель:
Результаты моделирования:
✏️Задание 1.2
На этой схеме система управления включает несколько элементов – входное воздействие, сумматор, линия обратной связи и блок ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор).
Не стоит переживать, если вы раньше не сталкивались с регуляторами. В технике используется довольно много стандартных моделей таких блоков. На фоне остальных, ПИД-регулятор, пожалуй, является самым известным. Мы с подробно ознакомиться с его устройством и работой в следующих главах.
А пока попробуйте изменить параметры ПИД-регулятора, дважды нажав на блок регулятора.
Посмотрите, как изменится переходный процесс на графике.
Решение
Результаты моделирования:
Тест для получения сертификата
Если вы впервые проходите тестирование на платформе Этюд по ссылке из Engee, то, нажав на ссылку ниже, вы увидите следующее диалоговое окно:
Нажмите на кнопку "Предоставить", чтобы авторизоваться на платформе Этюд с данными вашего профиля Engee ID.
Если вы раньше уже проходили тестирование по ссылке из Engee, то ваша авторизация выполнится автоматически и тестирование начнется сразу же после нажатия на ссылку.